Štúdium rezonančného sériového

RLC obvodu

Sériový RLC obvod so striedavým napätím

Sériový obvod z prvkov R, L, C z pohľadu elektrotechniky

Sériový RLC obvod bez zdroja napätia

Paralelný a sériový RLC obvod je základnou časovou každého elektronického oscilátora, ktorý sa využíva v rádiotechnike, televíznej technike, rádiolokácii a pod. Elektrický oscilačný okruh má schému na obr. 1.

Najprv si vysvetlíme deje v sériovom RLC obvode bez pripojeného budiaceho striedavého napätia. Predpokladajme, že v začiatočnom stave je kondenzátor nabitý nábojom Q₀ na napätie U₀= Q₀/C a má teda energiu W₀ = (CU₀²)/2. Hodnoty R, L, C predstavujú celkovú rezistanciu, indukčnosť a kapacitu okruhu.

Obr. 1 RLC obvod

Po zapnutí vypínača sa kondenzátor začne vybíjať cez rezistor a cievku. V rezistancii R, do ktorej sme započítali aj rezistanciu cievky, vznikajú pritom straty energie premenou na teplo a na indukčnosti L sa tvorí magnetické pole a indukované napätie. V čase vybitia kondenzátora obvodom prechádzajúci prúd I nadobúda maximálnu hodnotu a energia obvodu je celá vo forme magnetickej energie obvodu W = (LI²)/2. Po tomto okamihu sa prúd začína klesať a na cievke sa indukuje elektromotorické napätie ε = – L(dI/dt), ktoré má podľa Lenzovho pravidla takú orientáciu, že sa snaží zachovať prúd I v pôvodnom smere. Kondenzátor sa týmto prúdom zase nabije na opačnú polaritu, ako bol pôvodne. Potom sa kondenzátor začne opäť vybíjať a dej sa opakuje, až kým sa všetka energia nespotrebuje na Joulove straty, polarizačné straty v dielektriku kondenzátora a straty vyžarovaním. Všetky tieto straty možno reprezentovať hodnotou R.

V takomto obvode možno pri dostatočne malom R vyrobiť elektrické kmity. Uvedený proces opisuje diferenciálna rovnica, ktorú dostaneme podľa druhého Kirchhoffovho zákona v tvare:

(1)

pričom U₀ kondenzátora vystúpi ako začiatočná podmienka riešenia. Deriváciou rovnice podľa t a delením L dostaneme

(2)

Ak zavedieme označenie R/L =2α, 1/(LC)=ω₀², rovnica nadobudne tvar

(3)

Je to homogénna diferenciálna rovnica druhého rádu pre prúd v okruhu. Všeobecné riešenie rovnice je potom

(4)

Z riešenia je vidieť, že priebeh prúdu závisí od vzťahov medzi koeficientom α a ω_0.Môžu teda nastať tri možnosti.

Pre α > ω₀ je β > 0 reálne a prúd má priebeh

(5)

Kondenzátor sa v tomto prípade vybíja aperiodicky. Prúd najprv rastie a potom exponenciálne klesá.

Pre α = ω₀ je β = 0 a prúd má priebeh

(6)

Je to hraničný prípad tlmeného aperiodického priebehu.

Pre α < ω₀ je β = a prúd má priebeh

(7)

Priebeh prúdu v tomto prípade ma tvar tlmenej vlny pričom jeho amplitúda sa zmenšuje exponenciálne a zodpovedajúce hodnoty α, ω a I₀ môžu byť vyjadrené na základe R, L a C pomocou nasledovných vzťahov:

, , (8)

Naspať

Sériový RLC obvod so striedavým napätím

Zoberme si sériový RLC obvodu, ktorý pripojíme k zdroju striedavého elektromotorického napätia daného časovou závislosťou:

(9)

kde U0 je maximálna hodnota napätia, ω uhlová frekvencia, t je čas ako nezávisle premenná. Obvod je schematicky znázornený na obr. 2.

Elektrický prúd, ktorý v danom okamihu bude pretekať obvodom určíme pomocou 2. Kirchhoffovho zákona. Pre elektrické napätia v obvode platí

(10)

Do tejto rovnice dosadíme za jednotlivé napätia , ktoré reprezentujú okamžité hodnoty napätia na cievke s indukčnosťou L, kondenzátora s kapacitou C a odporu s hodnotou R, q je okamžitá hodnota elektrického náboja na kondenzátore. Po dosadení a úprave rovnice (1) dostaneme

(11)

Súčasne sme využili znamienkovej konvencie, ktoré vyplývajú z metodiky riešenia elektrických obvodov. Keď rovnicu (3) zderivujeme podľa času a súčasne využijeme známy vzťah pre okamžitú hodnotu elektrického prúdu môžeme rovnicu (3) prepísať do tvaru

(12)

Je to deferenciálna rovnica druhého rádu s konštantnými koeficientmi s pravou stranou. Formálne je zhodná s rovnicou vynútených mechanických harmonických kmitov, preto aj jej riešenie bude rovnakého typu (pozri napr. Hajko: Základy fyziky)

(13)

Prvý exponenciálny člen predstavuje vlastné tlmené elektrické kmity, ktoré by v obvode prebiehali bez vonkajšieho zdroja napätia (napr. keby bol kondenzátor C nabitý nábojom Q a v danom okamihu by sme ho spinačom pripojili sériovému RL obvodu). Druhý člen v rovnici (13) predstavuje ustálený stav, keď vlastné tlmené kmity sú už utlmené a obvodom prechádza striedavý prúd, ktorý mu je vnútený vonkajším striedavým zdrojom s uhlovou frekvenciou w.

Pretože študujeme sériovy RLC obvod s trvale pripojeným zdrojom napätia, bude nás zaujímať len ustálený stav t. j. prípad, keď prúd v obvode je daný vzťahom

(14)

pre ktorého amplitúdu I₀ a fázový posuv j voči napätiu vyplývajú z rovnice (12) t.j. vzťahy:

(15)

(16)

Veličinu

(17)

nazývame impedanciou sériového RLC obvodu.

Ak napätie U₀ a prvky R, L, C budú nemenné, amplitúda prúdu I₀ a fázový posuv j sú závislé len od uhlovej frekvencie w vonkajšieho zdroja napätia. Tieto ich funkčné závislosti sú graficky znázornené na obr. 2a, b.

Zo vzťahu (14) vidíme, že I₀ bude dosahovať maximálnu hodnotu pri takej uhlovej frekvencii, pre ktorú impedancia bude dosahovať minimálnu hodnotu, t.j. keď menovateľ bude minimálny. To je splnené vtedy, keď

(18)

alebo, keď je splnená podmienka, vyjadrená rovnicou

(19)

Veličine w_r hovoríme rezonančná uhlová frekvencia a rezonančnú frekvenciu f r vyjadrujeme potom vzťahom

(20)

Zo vzťahu (15) súčasne vidíme, že fázový posuv za týchto podmienok je rovný nule t. j. j = j_r = 0. Amplitúda prúdu I₀ v obvode nadobudne hodnotu

(21)

Fyzikálnemu stavu, keď sú pre RLC obvod splnené vyššie uvedené podmienky, hovoríme rezonancia alebo inými slovami, že obvod je v rezonancii.

Napätia na cievke (ak je jej ohmicky odpor zanedbateľný voči jej induktancii) a na kondenzátore majú amplitúdy

(22)

(23)

Pri rezonancii, keď je splnená rovnica (17), sú amplitúdy (22,23) rovnaké, ale ich maximálne hodnoty ležia mimo rezonančnej frekvencie.

RLC rezonančný obvod charakterizujeme ďalšími fyzikálnymi parametrami. Selektivita obvodu reprezentuje rozdielnu priepustnosť prúdov v okolí nezonačenej frekvencie a prúdov ostatných frekvencií. Aby sme posúdili túto vlastnosť nezonačeného obvodu je výhodné zostrojiť tzv. normovanú rezonančnú krivku, ktorá je daná závislosťou pomerom amplitúd od pomeru frekvencií (pozri obr. 3). Na tomto obrázku je vyznačený interval pomerných frekvencií d, v ktorom hodnoty sú väčšie ako pomer . Tento interval vystihuje šírku rezonančnej krivky a nazývame ho relatívne tlmenie. Jeho veľkosť dostaneme riešením rovnice:

(24)

Keď do tejto rovnice dosadíme vzťahy (14) a (20) dostaneme

(25)

Táto rovnica má 2 kladné korene w₁ a w₂, ktorých rozdiel je

(26)

Takto určený frekvenčný interval Δw sa nazýva šírka pásma priepustnosti. Relatívne tlmenie d potom môžeme vyjadriť vzťahom

(27)

Ďalšou charakteristikou RLC obvodu je činiteľ kvality, skrátene kvalita. Kvalita je nepriamo úmerná prevrátenej hodnote šírky rezonančnej krivky a vyjadrujeme ju vzťahom

(28)

Poznámka: Analogické úvahy by sme mohli robiť pre paralelný RLC obvod..

Naspať

Sériový obvod z prvkov R, L, C z pohľadu elektrotechniky

Schéma je na obr.5. Podľa Kirchhoffovho zákona v symbolicko-komplexnej forme platí

(29)

kde

Obr.5 Sériový obvod z prvkov R, L, C

a) schéma zapojenia, b) fázorový diagram

Napätie je vo fáze s prúdom , prúd predbieha , sa za prúdom o oneskoruje. Po dosadení do (29)

(30)

výraz (30) je Ohmovým zákonom pre striedavý prúd. Vzťah

(31)

je impedancia obvodu v komplexnom tvare. Jej veľkosť určíme podľa

(32)

kde sa nazýva indukčná reaktancia a kapacitná reaktancia

Rozmer impedancie Z aj reaktancie X_L a X_C je rovnaký ako rozmer odporu -.

Fázový posun medzi napätím a prúdom určíme podľa

(33)

, ktorý je totožný so vzťahom (16). Príslušný fázorový diagram obvodu R, L, C v sérii je na obr.5b.

Ak X_L = X_C, účinky indukčnosti L a kapacity C sa navzájom rušia a celý obvod R, L, C v sérii sa správa voči zdroju ako odpor . Tento stav nazývame rezonanciou. Môže nastať pri konštantnej frekvencii zmenou hodnôt L, C, ale aj pri konštantných R, L, C zmenou frekvencie. Takú frekvenciu, pri ktorej nastáva rezonancia, nazývame rezonančnou frekvenciou. Určíme ju z podmienky

t.j.

a po úprave rezonančná frekvencia

(34)

, ktorý je zase totožný so vzťahom (20).

Veľkosť impedancie pri rezonancii

(35)

a rovná odporu a dosahuje minimálnu hodnotu. Vtedy je prúd maximálny. Jeho efektívna hodnota je .

Obraz impedancie v komplexnej rovine v stave rezonancie je na obr.6a a príslušný fázorový diagram na obr.2b. V stave rezonancie odoberá obvod zo zdroja len činný výkon.

Obr.6 Sériový obvod R, L, C v stave rezonancie:

a) obraz impedancie v komplexnej rovine, b) fázorový diagram

Pri riešení zložitejších elektrických obvodov sa dnes väčšinou používa symbolicko-komplexná metóda. Potom pri riešení sa v plnom rozsahu uplatňujú poznatky o riešení jednosmerných elektrických obvodov, t.j. platia rovnaké metódy riešenia obvodov.

Naspať

OBVOD RLC – príklad výpočtu

Tri spotrebiče typu R-L-C (rezistor, cievka a kondenzátor – pri ktorom zanedbáme straty v dielektriku a počítame len s jeho kapacitou) s parametrami R = 7 W, R_L = 3 W, L = 31,8 mH a C = 796 µF sú zapojené do série a pripojené na zdroj harmonického napätia s efektívnou hodnotou U = 230 V a s frekvenciou f = 50 Hz (obr.7).

Vypočítajte efektívnu hodnotu prúdu v obvode, fázový posun medzi napätím a prúdom, z neho charakter záťaže a úbytky napätí na jednotlivých spotrebičoch

a) bez použitia symbolicko-komplexného počtu (v efektívnych hodnotách, ktoré udávajú meracie prístroje),

b) s použitím symbolicko-komplexného počtu (v hodnotách fázorov efektívnych hodnôt prúdu a napätia, pomocou ktorých dokážeme nakresliť fázorový diagram).

Vypracovanie:

a) Pri výpočte prúdu v sériovom obvode vychádzame z Ohmovho zákona a definície impedancie v sériovom obvode, ktorý je tvorený prvkami R, L a C.

Veľkosť efektívnej hodnoty prúdu I vypočítame z Ohmovho zákona

kde veľkosť impedancie obvodu Z určíme z impedančného trojuholníka (obr.8)

pričom X_L a X_C sú reaktancie induktora a kapacitora

Veľkosť efektívnej hodnoty prúdu I je

Fázový posun j a z neho charakter záťaže možno určiť pomocou obr.2

j > 0, obvod má induktívny charakter.

Veľkosť efektívnych hodnôt úbytkov napätia na prvkoch R, L, C vyjadríme pomocou Ohmovho zákona

- napätie na rezistore

- napätie na cievke s veľkosťou impedancie Z_L (uvažujeme aj s odporom cievky R_L)

- napätie na kapacitore

b) Komplexnú impedanciu obvodu vyjadríme v zložkovom tvare podľa obr.9

Komplexnú impedanciu vyjadríme vo verzorovom tvare

kde Z je veľkosť (modul) komplexnej impedancie, pre hodnotu

ktorého vo všeobecnosti platí

j je fázový posun medzi napätím a prúdom

a vyjadruje sa všeobecným vzťahom

(vzťahy pre výpočet Z a φ sú zrejmé z obr.3).

Zo znamienka fázového posunu určíme charakter záťaže, j > 0, t.j. sériový obvod má induktívny charakter.

Fázor celkového prúdu obvodu je

- vo verzovom tvare ,

kde je počiatočná fáza prúdu

- v algebraickom tvare

Pri konštrukcii fázorového diagramu v sériovom obvode[1] je vždy vhodné pootočiť fázorya tak, aby počiatočná fáza prúdu bola y_i = 0°. Fázor napätia sa tak pootočí o uhol j = +31° (obr.4).

Hodnoty fázorov úbytkov napätí na prvkoch R, L, C vyjadríme pomocou Ohmovho zákona

- fázor napätia na rezistore

Naspať